Question

已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）由S_n与a_n的关系，我们从n=1依次代入整数值，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄；

（2）由a₁，a₂，a₃，a₄的值与n的关系，我们归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．

（1）计算得a1＝

1

2；a2＝

1

6；a3＝

1

12；a4＝

1

20．

（2）猜测：an＝

1

n(n+1)．下面用数学归纳法证明

①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，

即ak＝

1

k(k+1)．

那么，当n=k+1时，S_k+1=1-（k+1）a_k+1，

即S_k+a_k+1=1-（k+1）a_k+1．

又Sk＝1−kak＝

k

k+1，

所以[k/k+1+ak+1＝1−(k+1)ak+1，

从而ak+1＝

1

(k+1)(k+2)＝

1

(k+1)[(k+1)+1]]．

即n=k+1时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；数列的求和．

考点点评： 本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．