Question

已知f(log2x)＝ax2−2x+1−a，a∈R．

Answer 1

解题思路：（1）令log₂x=t即x=2^t，从而求出f（t）的解析式，最后将t用x替换即可求出所求；

（2）将f（x）=（a-1）•4^x进行配方得（2^x-1）²=a，讨论a可得方程的解的情况；

（3）将“对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有

|h(

x

1

)−h(

x

2

)|≤

a+1

2

成立”转化成“当x∈[-1，1]时，

h

max

−

h

min

≤

a+1

2

恒成立”讨论研究函数h（x）的最值，从而求出a的取值范围．

（1）令log₂x=t即x=2^t，则f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a，

即f（x）=a•2^2x-2•2^x+1-a，x∈R，

（2）由f（x）=（a-1）•4^x化简得：2^2x-2•2^x+1-a=0即（2^x-1）²=a，

当a＜0时，方程无解，

当a≥0时，解得2x＝1±

a，

若0≤a＜1，则x＝log2(1±

a)，

若a≥1，则x＝log2(1+

a)，

（3）对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有|h(x1)−h(x2)|≤

a+1

2成立，等价于

当x∈[-1，1]时，hmax−hmin≤

a+1

2，h(x)＝a•2x+

1−a

2x−2，

令2^x=t，则y＝at+

1−a

t−2，t∈[

1

2，2]，

令g(t)＝at+

1−a

t−2，t∈[

1

2，2]，

①当a≥1时，g(t)＝at+

1−a

t−2，t∈[

1

2，2]单调递增，

此时g(t)max＝g(2)＝

3(a−1)

2，g(t)min＝g(

1

2)＝−

3a

2，g(t)max−g(t)min＝

6a−3

2≤

a+1

2即a≤

4

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．

考点点评： 本题是一道综合题，主要考查了函数的解析式，解指数方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．