设sinα是sinθcosθ的等差中项sinβ是sinθcosθ的等比中项,求证cos4β-4cos4α=3

2个回答

  • ,我记得我上学的时候就做过这道题的我来证下吧,虽然没分,若觉得我证得没问题请给我小旗旗,最好是能追加些分,按试卷答题方式写的,写得辛苦啊.

    证:∵ sinα是sinθcosθ的等差中项,sinβ是sinθcosθ的等比中项

    ∴ 2sinα=sinθ+cosθ sinβ^2=sinθcosθ

    ∵ sinθ^2+cosθ^2=1

    ∴4sinα^2=(sinθ+cosθ)^2

    =sinθ^2+cosθ^2+2sinθcosθ

    =1+2sinβ^2

    则得出:4sinα^2=1+2sinβ^2 ①

    ∵ cos2α=1-2sinα^2 cos2β=1-2sinβ^2

    ∴ 4sinα^2=2-2cos2α

    1+2sinβ^2=2-cos2β

    由①式得:

    cos2β=2cos2α ②

    ∵cos4β=2cos2β^2-1 cos4α=2cos2α^2-1

    ∴ 由②式得:

    cos4β-cos4α=2cos2β^2-1-cos4α

    =8cos2α^2-1-cos4α

    =4cos4α+3-cos4α

    =3cos4α+3

    左右移项得:cos4β-4cos4α=3

    证毕!