解题思路：(1)由直四棱柱概念，得BB 1 //DD 1 ，
得到四边形BB 1 D 1 D是平行四边形，从而B 1 D 1 ∥BD，由直线与平面平行的判定定理即得证.
(2)注意到BB 1 ⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，推出BB 1 ⊥AC.
又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB 1 D 1 D.而MD⊂平面BB 1 D 1 D，故得证.
(3)分析预见当点M为棱BB 1 的中点时，符合题意.此时取DC的中点N，D 1 C 1 的中点N 1 ，连接NN 1 交DC 1 于O，连接OM，证得BN⊥DC.又DC是平面ABCD与平面DCC 1 D 1 的交线，而平面ABCD⊥平面DCC 1 D 1 ，推出BN⊥平面DCC 1 D 1 .又可证得，O是NN 1 的中点，由四边形BMON是平行四边形，得出OM⊥平面CC 1 D 1 D，得证.
试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1 //DD 1 ，
∴四边形BB 1 D 1 D是平行四边形，∴B 1 D 1 ∥BD.
而BD⊂平面A 1 BD，B 1 D 1 ⊄平面A 1 BD，∴B 1 D 1 ∥平面A 1 BD.
(2)∵BB 1 ⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB 1 ⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB 1 ＝B，∴AC⊥平面BB 1 D 1 D.
而MD⊂平面BB 1 D 1 D，∴MD⊥AC.
(3)当点M为棱BB 1 的中点时，取DC的中点N，D 1 C 1 的中点N 1 ，连接NN 1 交DC 1 于O，连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC 1 D 1 的交线，而平面ABCD⊥平面DCC 1 D 1 ，∴BN⊥平面DCC 1 D 1 .
又可证得，O是NN 1 的中点，∴BM∥ON且BM=ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC 1 D 1 D，因为OM⊂面DMC 1 ，所以平面DMC 1 ⊥平面CC 1 D 1 D.
(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.
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