Question

高中有关圆锥曲线,极坐标方程的题

Answer 1

假设PQ直线的斜率为k

(1)当k=0时,四边形PMQN面积为2

(2)当k不为0时,MN直线的斜率为-1/k

PQ直线为y-1=k(x-0) 即y=kx+1 与椭圆方程联立 (k^2+2)x^2+2kx-1=0

假设P(X1,Y1) Q(X2,Y2)则X1+X2=-2k/(k^2+2) X1X2=-1/(k^2+2)

PQ=(1+k^2)^(1/2)((X1+X2)^2-4X1X2)^(1/2)=2^(3/2)(k^2+1)/(k^2+2)

同理,MN=2^(3/2)(1/k^2+1)/(1/k^2+2)

四边形PMQN面积S=1/2PQMN=4(k^4+2k^2+1)/(2k^4+5k^2+2)=2-2k^2/(2k^4+5k^2+2)=2-2/(2k^2+5+2/k^2)

k^2+1/k^2>=2 所以S的取值范围是16/9