Question

证明对所有不是1的奇数n有伯努利数Bn = 0

Answer 1

首先,你应该知道伯努利多项式的定义.伯努利多项式定义为：

t*exp(t*x)/(exp(t)-1)可以展开为：∑Bn(x)*t^n/n!,Bn(x)就是n阶伯努利多项式.其中,Bn(0)定义为伯努利数Bn.可以由这个定义证明：对任意n有Bn(x)=(-1)^n*Bn(1-x),以及当n不等于1时有Bn(0)=Bn(1).这样一来,对大于一的奇数有Bn(0)=-Bn(1)以及Bn(0)=Bn(1),因而只能有Bn(0)=Bn(1)=0,即Bn=0.