Question

（2013•河池）已知：抛物线C1：y=x2．如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0

Answer 1

解题思路：（1）设设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；

（2）四边形ODAB的形状为正方形，求出抛物线C₂的顶点坐标D为（1，-1）和B的坐标为（1，1）进而证明四边形ODAB为菱形，再证明是正方形即可；

（3）当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：①若MN是平行四边形的一条边②若MN是平行四边形的一条对角线，在分别讨论求出满足题意的m值即可．

（1）∵抛物线C₂经过C₁的顶点O，

∴设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，

∵C₂经过A（2，0），

∴4+2b=0，

解得：b=-2，

∴求抛物线C₂的解析式为y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，

∴抛物线C₂的顶点坐标D为（1，-1），

当x=1时，y=1，

∴点B的坐标为（1，1），

∴根据勾股定理得：OB=AB=OD=AD=

2，

∴四边形ODAB是菱形，

又∵OA=BD=2，

∴四边形ODAB是正方形；

（3）∵抛物线C₂向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C₃，

∴抛物线C₃的解析式为y=（x-1）²-1-m，

在y=（x-1）²-1-m中，令x=0，得y=-m，

∴M（0，-m），

∵点N是M关于x轴的对称点，

∴N（0，m），

∴MN=2m，

当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：

①若MN是平行四边形的一条边，

由MN=PQ=2m和点P（-[4/3]m，[1/3]m）得Q（-[4/3]m，[7/3]m），

∵点Q在抛物线C₃上，

∴[7/3]m=（-[4/3]m-1）²-1-m，

解得：m=[3/8]或m=0（舍去），

②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称得Q（[4/3]m，-[1/3]m）

∵点Q在抛物线C₃上，

∴-[1/3]m=（[4/3]m-1）²-1-m，解得：m=[15/8]或m=0（舍去）

综上所述，当m=[3/8]或[15/8]时，

在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数的平移、二次函数的顶点坐标的求法、平行四边形的判定和性质以及菱形、正方形的判定和性质，用到的知识点还有一元二次方程的解法以及分类讨论的数学思想，题目的综合性很强，难度很大．