Question

（2003•上海）已知数列{an}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列．

Answer 1

解题思路：（1）利用等比数列的通项公式求出数列的前4项，据组合数公式求出各个组合数，代入两个代数式求出值．

（2）归纳猜测出一般结论，利用等比数列的通项公式将各项用首项和公比表示，提出公因式公比，逆用二项式定理的展开式，

化简代数式得证．

（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²
=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；

（2）归纳概括的结论为：

若数列{a_n}是首项为a₁，

公比为q的等比数列，

则a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，

n为正整数．

证明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]

=a₁（1-q）ⁿ．

点评：

本题考点： 二项式定理的应用．

考点点评： 本题考查等比数列的通项公式、组合数公式、二项式定理展开式的形式，要熟练掌握公式并能逆用公式．