解题思路：分离参数得x+[3/x]+[1
x
2
≥-3a．令g（x）=x+
3/x]+
1
x
2
，则问题转化为g（x）min≥-3a．利用导数可求得g（x）min．
x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x+[3/x]+[1
x2≥-3a．
令g（x）=x+
3/x]+[1
x2，则g'（x）=1-
3
x2-
2
x3=
x3−3x−2
x3，
下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．
令h（x）=x3-3x-2，则h'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，
∴g（x）的最小值为g（2）=
15/4]，
-3a≤g（2）=[15/4]，
解得a≥-[5/4]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
1年前
5
lqij
幼苗
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已知函数f(x)=x³+3ax²+3x+1 ，若x∈[2，+∞）时f(x)≧0，求a的取值范围
f '(x)=3x²+6ax+3=3(x²+2ax+1)
按题意，要求f '(2)=3(4+4a+1)=3(4a+5)≧0，即a≧-5/4.
即-5/4≦a
1年前
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