Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对∀x∈R，f(34−x)＝f(3

Answer 1

解题思路：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，由②得出

f(−x)＝f(

3

2

+x)

两者结合得出函数的周期性，再结合③即可求出f（2011）．

由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，

故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，

即f（x）=-f（-x）对任何x都成立，

由②得出f(−x)＝f(

3

2+x)

∴f(

3

2+x)＝−f(x)

∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数，

则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log₂4=-2，

故答案为：-2

点评：

本题考点： 函数的值；函数的周期性；对数的运算性质．

考点点评： 本题考查函数的对称性与周期性的性质，知识性较强．解答的关键是由函数的对称性得出函数的周期性．