Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。 （1）判

Answer 1

（1）如图（1），S _{四边形BCEF}=S _{正方形ABCD}-S _△ABF-S _△DEF=4 ²-1/2×4×a-1/2×2×（4-a）=12-a，

∵F为AD边上一点，且不与点D重合，

∴0≤a<4，

∴当点F与点A重合时，a=0，

S _{四边形BCEF}存在最大值12；S _{四边形BCEF}不存在最小值；

（2）如图（2），延长BC、FE交于点P

∵正方形ABCD，

∴AD∥BC，

∴△DEF∽△CEP，

∵E为CD的中点，

∴

，PF=2EF，

∵∠BFE=∠FBC，

∴PB=PF，

∵AF=a，

∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=PF/2=8-a/2，

∵Rt△DEF中，EF ²=DE ²+DF ^{2 _，}

∴（8-a/2） ²=2 ²+（4-a） ^{2 _，}
整理，得3a ²-16a+16=0 ，

解得a ₁=4/3，a ₂=4，

∵F点不与D点重合，

∴a=4不成立，a=4/3，tan∠AFB=AB/AF=3；

（3）tan∠AFB=2k+1（K为正整数）