Question

已知曲线C：y=2x3-3x2-2x+1，点P(12，0)，求过P点的切线l与曲线C所围成的图形的面积．

Answer 1

解题思路：由于切线过点P，故先设切点求切线方程，再与曲线C联立，可求交点坐标，从而利用定积分求曲线围成的图形面积．

由y=2x³-3x²-2x+1得：y'=6x²-6x-2

设切点为Q（x₀，y₀），则y₀=2x₀³-3x₀²-2x₀+1

于是 切线l为：y-（2x₀³-3x₀²-2x₀+1）=（6x₀²-6x₀-2）（x-x₀）…（3分）

又 切线过点P(

1

2，0)

∴0−(2

x30−3

x20−2x0+1)＝(6

x20−6x0−2)(

1

2−x0)

化简得：x₀（4x₀²-6x₀+3）=0解得：x₀=0，y₀=1即切点Q（0，1）

∴切线l为：2x+y-1=0

联立

y＝2x3−3x2−2x+1

2x+y−1＝0，解得：

x＝

3

2

y＝−2或

x＝0

y＝1

∴另一交点为

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．

考点点评： 本题以曲线为载体，考查曲线的切线方程，考查利用定积分求曲线围成的图形面积，解题的关键是区分在点处与过点的切线方程的求解．