Question

已知过抛物线y^2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过原点作OM,使OM垂直于AB,垂足为M,求M的轨迹方程~

Answer 1

设AB直线方程为x=ky+b

联立有y^2-4ky-4b=0

Δ=16k^2+16b≥0

所以k^2+b≥0

设A(x1,y1),B(x2,y2)

则y2y1/(x1x2)=-1

y1+y2=4k,y1y2=-4b

x1x2=(ky1+b)(ky2+b)=k^2y1y2+kb(y1+y2)+b^2

=-4bk^2+4bk^2+b^2

=b^2

所以b^2-4b=0

b=4(b=0时AB有一个为原点O,舍去)

直线过定点C(4,0)

而OM⊥MC

所以M在以OC为直径的圆上

所以方程为y^2+(x-2)^2=4

但M不能是原点,所以x^2-4x+y^2=0(x≠0)