Question

已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．

Answer 1

解题思路：（1）在定义域内，由f(x)＝1x，f（x+1）=f（x）+f（1），知1x+1＝1x+1⇒x2+x+1＝0，由此能推导出f(x)＝1x∉M．（2）由函数f(x)＝lgtx2+1∈M，知lgt(x+1)2+1=lgtx2+1+lgt2，所以（t-2）x2+2tx+2（t-1）=0有实数解，由此能求出t的范围．

（1）在定义域内，

∵f(x)＝

1

x，f（x+1）=f（x）+f（1）

∴[1/x+1＝

1

x+1⇒x2+x+1＝0，

∵方程x²+x+1=0无实数解，

∴f(x)＝

1

x]∉M．（6分）

（2）∵函数f(x)＝lg

t

x2+1∈M，

∴lg[t

(x+1)2+1=lg

t

x2+1+lg

t/2]，

∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，

t=2时，x＝−

1

2；

t≠2时，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，

得t2−6t+4≤0⇒t∈[3−

5，2)∪(2，3+

5]．

∴t∈[3−

5，3+

5]．（12分）

点评：

本题考点： 对数的运算性质；元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题考查函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质的灵活运用．