Question

若a，b，c，d为非负整数．且（a2+b2）（c2+d2）=1993．则a+b+c+d=______．

Answer 1

解题思路：根据（a²+b²）（c²+d²）=1993，得a²+b²与c²+d²都是正整数，不妨设a²+b²=1，c²+d²=1993，则c，d中至少有一个大于31，设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．依次取c=44，43，42，41，33，32，则得出a+b+c+d=1+55=56．

因为1993是质数，a²+b²与c²+d²都是正整数，所以a²+b²与c²+d²分别取值1与1993；

不妨设a²+b²=1，c²+d²=1993．

（1）a²+b²=1、推知a=0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1

（2）c²+d²=1993、

若c≤31，d≤31，则c²+d²≤2×31²=2×961=1922<1993，所以c，d中至少有一个大于31

又由于44²=1936<1993，

故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．

我们试算如下：

c 44 43 42 41 40 39 38

c²1936 1849 1764 1681 1600 1521 1444

1993-c²57 144 229 312 393 472 549

c 37 36 35 34 33 32

c²1369 1296 1225 1156 1089 1024

1933-c²624 697 768 837 904 969 其中1933-c²的结果中，只有144=12²为完全平方数，

即43²+12²=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43

因此，c+d=55．

所以a+b+c+d=1+55=56．

点评：

本题考点： 完全平方数．

考点点评： 本题是一道竞赛题，考查了完全平方数，难度较大．