设x,y,z>0,x+y+z=3,证明(x+y)/(xy(4-xy))≥4/(4+x+y) (用不等式解)

1个回答

  • 给一种利用函数单调的方法:

    设 x+y=a,则 3>a>0

    原不等式等价于:

    (x+y)(4+x+y)≥4xy(4-xy);即 a(4+a)≥4xy(4-xy)…………(1);

    而xy的范围是 (a^2)/4≥xy>0

    是函数f(m)=4m(4-m),当 m=xy时,函数就是(1)式右边的形式~

    下面利用f(m)的单调性证明本题.

    f(m)的对称轴是x=2,所以,对(a^2)/4的范围进行讨论.

    1.当 2≥(a^2)/4>0时,(此时,2^(3/2)≥a>0)

    f(xy)的最大值是 xy=(a^2)/4,此时f(xy)= 4*(a^2)-(a^4)/4

    此时(1)式成立等价于 a(4+a)≥4*(a^2)-(a^4)/4.

    利用函数的单调性,很容易证明上式,这里就不证了~从而证明的(1)式.

    2.当 9/4≥(a^2)/4≥2,(此时,3>a≥2^(3/2))

    f(xy)的最大值是f(2)=16,而(1)式左边的最小值当a=2^(3/2)取道,为8+8*[2^(1/2)]>16,所以 (1)成立.

    综上,原题得证~