Question

是否存在这样的正整数n，使得3n2+7n-1能整除n3+n2+n+1？请说明理由．

Answer 1

解题思路：运用反证法得出（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]=n（n²+4n+8），利用互素得出（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8），得出3n²+7n-1≤n²+4n+8，从而确定n的取值．

用反证法，假设存在一个正整数n，使得（3n²+7n-1），

整除n³+n²+n+1，则（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]，

=n（n²+4n+8）．

∵n与3n²+7n-1互素，所以（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．

从而，3n²+7n-1互素，所以，

（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．

从而，3n²+7n-1≤n²+4n+8，即2n²+3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不满足题目的要求，矛盾．

因此，满足题目要求的正整数n不可能存在．

点评：

本题考点： 数的整除性．

考点点评： 此题主要考查了数的整除性，以及利用互素知识和反证法证明整除的条件．