Question

已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S=

Answer 1

解题思路：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T．

（II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有-a∉A，得到0∉A得到（a_i，a_i）∉T；当（a_i，a_j）∈T时，（a_j，a_i）∉T，求出T中的元素个数．

（III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．

（I）集合{0，1，2，3}不具有性质P．

集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是

S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（a_i，a_j）共有k²个．

因为0∉A，所以（a_i，a_i）∉T（i=1，2，k）；

又因为当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，

所以当（a_i，a_j）∈T时，（a_j，a_i）∉T（i，j=1，2，k）．

从而，集合T中元素的个数最多为[1/2(k2−k)＝

k(k−1)

2]，

即n≤

k(k−1)

2．

（III）m=n，证明如下：

（1）对于（a，b）∈S，根据定义，

a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，

且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．

如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，

那么a=c与b=d中至少有一个不成立，

从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n．

点评：

本题考点： 元素与集合关系的判断；集合的含义．

考点点评： 本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．