Question

设数列{an}对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+…+an）（其中k、b、p是常数）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，由已知条件推导出3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，由此得到数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而能求出a₁+a₂+…+a_n．

（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，由已知条件推导出na_n+2-2na_n+1+na_n=0，从而得到数列{a_n}是等差数列，由此求出a_n=2n-3．

（Ⅲ）由（II）知数列{a_n}是等差数列，a_n=a₁+2（n-1）．由此进行分类讨论，能求出数列{a_n}首项a₁的值．

（Ⅰ）当k=0，b=3，p=-4时，

3（a₁+a_n）-4=2（a₁+a₂+…+a_n），①

用n+1去代n得，3（a₁+a_n+1）-4=2（a₁+a₂+…+a_n+1），②

②-①得，3（a_n+1-a_n）=2a_n+1，a_n+1=3a_n，

在①中令n=1得，a₁=1，则a_n≠0，∴

an+1

an=3，

∴数列{a_n}是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴a₁+a₂+…+a_n=

1−3n

1−3=

3n−1

2．

（Ⅱ）当k1，b=0，p=0时，n（a₁+a_n）=2（a₁+a₂+…+a_n），③

用n+1去代n得，（n+1）（a₁+a_n+1）=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），④

④-③得，（n-1）a_n+1-na_n+a₁=0，⑤．

用n+1去代n得，na_n+2-（n+1）a_n+1+a₁=0，⑥

⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，．

∴数列{a_n}是等差数列．∵a₃=3，a₉=15，

∴公差d=[15−3/9−3＝2，∴a_n=2n-3．

（Ⅲ）由（II）知数列{a_n}是等差数列，

∵a₂-a₁=2，∴a_n=a₁+2（n-1）．

又对任意m，n∈N^*，必存在p∈N^*，

使a₁+2（n-1）+a₁+2（m-1）=a₁+2（p-1），

得a₁=2，故a₁是偶数，10分

又由已知，

1

6＜

1

S1＜

11

18]，故[18/11＜a1＜6．

一方面，当

18

11＜a1＜6时，S_n=n（n+a₁-1）＞0，对任意n∈N^*，

都有

1

S1+

1

S2+…+

1

Sn＞

1

S1＞

1

6]．

另一方面，当a₁=2时，S_n=n（n+1），[1

Sn＝

1/n−

1

n+1]，

则

1

S1+

1

S2+

1

S2+…+

1

Sn=1-

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的应用．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．