Question

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切，则a等于 ___ ．

Answer 1

解题思路：已知点（1，0）不知曲线y=x³上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x³相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax²+[15/4]x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．

由y=x³⇒y'=3x²，设曲线y=x³上任意一点（x₀，x₀³）处的切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），（1，0）代入方程得x₀=0或x0=

3

2

①当x₀=0时，切线方程为y=0，则ax2+

15

4x-9=0，△=(

15

4)2-4a×(-9)=0⇒a=-

25

64

②当x0=

3

2时，切线方程为y=

27

4x-

27

4，由

y=ax2+

15

4x-9

y=

27

4x-

27

4⇒ax2-3x-

9

4=0，△=32-4a(-

9

4)=0⇒a=-1∴a=-

25

64或a=-1．

故答案为：-[25/64]或-1

点评：

本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．