高中所有关于字母转换的数学公式,就比如sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 这样的,

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  • 一、诱导公式

    口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.

    1. sin (α+k•360)=sin α

    cos (α+k•360)=cos a

    tan (α+k•360)=tan α

    2. sin(180°+β)=-sinα

    cos(180°+β)=-cosa

    3. sin(-α)=-sina

    cos(-a)=cosα

    4*. tan(180°+α)=tanα

    tan(-α)=tanα

    5. sin(180°-α)=sinα

    cos(180°-α)=-cosα

    6. sin(360°-α)=-sinα

    cos(360°-α)=cosα

    7. sin(π/2-α)=cosα

    cos(π/2-α)=sinα

    8*. Sin(3π/2-α)=-cosα

    cos(3π/2-α)=-sinα

    9*. Sin(π/2+α)=cosα

    cos(π/2+a)=-sinα

    10*.sin(3π/2+α)=-cosα

    cos(3π/2+α)=sinα

    二、两角和与差的三角函数

    1. 两点距离公式

    2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

    3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

    C(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

    4. T(α+β):

    T(α-β):

    5*.

    三、二倍角公式

    1. S2α: sin2α=2sinαcosα

    2. C2a: cos2α=cos¬2α-sin2a

    3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)

    4. C2a’: cos2α=1-2sin2α

    cos2α=2cos2α-1

    四*、其它杂项(全部不可直接用)

    1.辅助角公式

    asinα+bcosα= sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b)

    asinα+bcosα= cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a)

    2.降次、配方公式

    降次:

    sin2θ=(1-cos2θ)/2

    cos2θ=(1+cos2θ)/2

    配方

    1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]2

    1+cosθ=2cos2(θ/2)

    1-cosθ=2sin2(θ/2)

    3. 三倍角公式

    sin3θ=3sinθ-4sin3θ

    cos3θ=4cos3-3cosθ

    4. 万能公式

    5. 和差化积公式

    sinα+sinβ= 书p45 例5(2)

    sinα-sinβ=

    cosα+cosβ=

    cosα-cosβ=

    6. 积化和差公式

    sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1)

    cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

    sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

    cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]

    7. 半角公式

    sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

    cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

    tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

    tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

    三角函数

    三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中,但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系.

    由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数.

    三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中,三角函数也是常用的工具.

    基本初等内容

    它有六种基本函数(初等基本表示):

    函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

    正弦函数 sinθ=y/r

    余弦函数 cosθ=x/r

    正切函数 tanθ=y/x

    余切函数 cotθ=x/y

    正割函数 secθ=r/x

    余割函数 cscθ=r/y

    以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:

    正矢函数 versinθ =1-cosθ

    余矢函数 vercosθ =1-sinθ

    同角三角函数间的基本关系式:

    •平方关系:

    sin^2(α)+cos^2(α)=1

    tan^2(α)+1=sec^2(α)

    cot^2(α)+1=csc^2(α)

    •积的关系:

    sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

    tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

    secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

    •倒数关系:

    tanα•cotα=1

    sinα•cscα=1

    cosα•secα=1

    三角函数恒等变形公式:

    •两角和与差的三角函数:

    cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ

    cos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβ

    sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ

    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)

    tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)

    •辅助角公式:

    Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

    sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

    cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

    •倍角公式:

    sin(2α)=2sinα•cosα

    cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

    tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

    •三倍角公式:

    sin3α=3sinα-4sin^3(α)

    cos3α=4cos^3(α)-3cosα

    •半角公式:

    sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

    cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

    tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

    tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

    •万能公式:

    sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

    cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

    tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

    •积化和差公式:

    sinα•cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

    cosα•sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

    cosα•cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

    sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

    •和差化积公式:

    sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

    cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

    •其他:

    sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

    cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

    sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

    tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

    部分高等内容

    •高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):

    sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2

    cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

    tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)]

    泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

    此时三角函数定义域已推广至整个复数集.

    •三角函数作为微分方程的

    对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

    Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数.

    补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣.