Question

求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值

Answer 1

y=(x+a)/(x+1)

yx+y=x+a

(y-1)x=a-y

x=(a-y)/(y-1)

1≤(a-y)/(y-1)≤2

y>1时,

y-1≤a-y≤2y-2

y-1≤a-y,a-y≤2y-2

1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2

1＜(a+2)/3≤(a+1)/2

a＞1,

则a>1时,1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2,有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;

y＜1时,

2y-2≤a-y≤y-1

(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1

(a+1)/2≤(a+2)/3＜1

a＜1

则a＜1时,(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1,有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;

a=1时,f(x)=1.

综上所述

a＞1时,f(x)有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;

a＜1时,f(x)有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;

a=1时,f(x)=1.