解题思路：（1）连接OC，先证Rt△AOE≌Rt△COE，得出∠EAO=∠ECO，EC是⊙O的切线，所以∠EAO=90°，AE与⊙O相切；（2）①根据ED：DO=3：1设出DO=t，则DE=3t，EO=4t，根据AODO＝EOAO，求得t＝92，即EO=18，再用勾股定理即得AE的长；②延长BD交AE于F，过O作OG∥AE交BD于G，得到△OGD∽△EFD．求得EF=3GO．因为O是AB的中点，所以AF=2GO，AE=5GO．求得GO、AF的长即可得tanB的值．
（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OC=OA，
∴∠AOD=∠COD．
在△AOE和△COE中
OA＝O C
∠AOE＝∠COE
OE＝OE
∴Rt△AOE≌Rt△COE（SAS），
∴∠EAO=∠ECO．
又∵EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=90°．
∴∠EAO=90°．
∴AE与⊙O相切；
（2）①设DO=t，则DE=3t，EO=4t，
∵[AO/DO＝
EO
AO]，即[9/t＝
4t
9]，
∴t＝
9
2，即EO=18．
∴AE＝
EO2−AO2＝
182−92＝9
3；
②延长BD交AE于F，过O作OG∥AE交BD于G，
∵OG∥AE，
∴∠FED=∠GOD．
又∵∠EDF=∠ODG，
∴△OGD∽△EFD．
[EF/OG＝
ED
DO＝
3
1]，即EF=3GO．
又∵O是AB的中点，
∴AF=2GO．
∴AE=AF+FE=5GO．
∴5GO=9
3，
∴GO＝
9
3
5．
∴AF＝
18
3
5．
∴tanB=
AF
AB＝
3
5．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强．