Question

已知数列{a n }满足a 1 =1，且a n =2a n-1 +2 n （≥2，且n∈N * ）

Answer 1

（1）证明：∵a _n=2a _n-1+2 ⁿ（≥2，且n∈N ^*）

∴

a n

2 n =

a n-1

2 n-1 +1

∴

a n

2 n -

a n-1

2 n-1 =1

∴数列{

a n

2 n }是以

1

2 为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）得

a n

2 n =

1

2 +(n-1)•1=n-

1

2

∴a _n= (n-

1

2 )• 2 n ；

（3）∵S _n=

1

2 • 2 1 +

3

2 • 2 2 +…+ (n-

1

2 )• 2 n

∴2S _n=

1

2 • 2 2 +

3

2 • 2 3 +…+ (n-

1

2 )• 2 n+1

两式相减可得-S _n=1+2 ²+2 ³+…+2 ⁿ- (n-

1

2 )• 2 n+1 =（3-2n）•2 ⁿ-3

∴S _n=（2n-3）•2 ⁿ+3＞（2n-3）•2 ⁿ

∴

S n

2 n ＞2n-3 ．