已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 a 2 -1 - 知识问答

已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 a 2 -1 =1(a＞1) 的左右焦点为F 1 ，F 2 ，抛物线C：y 2 =

1个回答

（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距 c=
a 2 -( a 2 -1) =1 （1分）
所以椭圆焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0）（2分）
又抛物线C的焦点为 (
p
2 ，0) ∴
p
2 =1，p=2 ，∴C：y²=4x（3分）
∵M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴y₁²=4x₁，直线F₁M的方程为 y=
y 1
x 1 +1 (x+1) （4分）
代入抛物线C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，（5分）
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N两点在椭圆内部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a（9分）
即
2 2 + 2 2 +2＜2a ，∴ a＞
2 +1 ，（11分）
∴
1
a ＜
1
2 +1 =
2 -1 ，（12分）
∵c=1，∴离心率 e=
1
a ＜
2 -1 ，（13分）
又e＞0，∴椭圆离心率的取值范围为 (0，
2 -1) （14分）

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