Question

给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2

Answer 1

解题思路：先求抛物线y2=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（xm0，ym0）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k=xm0+1xm0，满足k≥2，即可证得结论．

证明：y²=nx-1与y=x联立，可得x²-nx+1=0，∴x=

n±

n2−4

2

∴x₀=y₀=

n±

n2−4

2．

∴x₀+

1

x0=n≥2．…（5分）

若（

xm0，

ym0）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=

xm0+

1

xm0．…（10分）

记k_m=

xm0+

1

xm0，由于k₁=n是整数，k₂=

x20+

1

x20=（x₀+

1

x0）²-2=n²-2也是整数，

且k_m+1=k_m（x₀+

1

x0）-k_m-1=nk_m-k_m-1，（m≥2）①

所以对于一切正整数m，k_m=

xm0+

1

xm0是正整数，且k_m≥2现在对于任意正整数m，

取k=

xm0+

1

xm0，满足k≥2，且使得y²=kx-1与y=x的交点为（

xm0，

ym0）．…（12分）

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．