解题思路：只需逐个分析四个选项，判断其是否能够推出f（x）在x0处连续即可．
A不能推出f（x）在x0处连续，反例：
取f(x)＝
xx≠0
1x＝0，
则
lim
x→0f(x)=
lim
x→0+f(x)=
lim
x→0−f(x)=0，
但是
lim
x→0f(x)≠f(0)，故f（x）在x=0处不连续．
B是f（x）在x0处连续的充分条件，是f（x）在x0处连续的定义．
C是f（x）在x0处连续的充分条件：
因为f′(x0)＝
lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0存在，
故
lim
x→x0(f(x)−f(x0))=f′(x0)•
lim
x→x0(x−x0)=0，
从而
lim
x→0f(x)＝f(x0)，
因此，f（x）在x0处连续．
D是f（x）在x0处连续的充分条件：
f（x）在x0处可微⇒f′（x0）存在⇒f（x）在x0处连续．
综上，不是f（x）在x0处连续的充分条件的选项是A．
故选：A．
点评：
本题考点： 函数连续的充要条件．
考点点评： 本题考查了函数f（x）在x0处连续的充分条件，在一元微积分学的问题中经常用到，需要熟练掌握．对于一元函数，函数可微、可导与连续之间满足如下关系：可微⇔可导⇒连续．