Question

设函数f（x）=ae x + 1 a e x +b（a＞0）．

Answer 1

（Ⅰ）设t=e ^x（t≥1），则 y=at+

1

at +b

∴ y′=

a 2 t 2 -1

a t 2

①当a≥1时，y′＞0，∴ y=at+

1

at +b 在t≥1上是增函数，

∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为 y=a+

1

a +b

②当0＜a＜1时， y=at+

1

at +b≥2+b ，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）的最小值为b+2；

（Ⅱ）求导函数，可得） f′(x)=a e x -

1

a e x

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

3

2 x ，

∴

f(2)=3

f′(2)=

3

2 ，即

a e 2 -

1

a e 2 =

3

2

a e 2 +

1

a e 2 +b=3 ，解得

a=

2

e 2

b=

1

2 ．