解题思路:用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2(k+2),再根据a1•a2•a3…ak为整数,得k=2n-2,由区间[1,2014]确定n的取值,求出在区间(1,2014)内所有的劣数和.
∵an=logn+1(n+2),(n∈N*),
∴a1•a2•a3…ak=[lg3/lg2•
lg4
lg3]•…•
lg(k+2)
lgk+1=log2(k+2),
又∵a1•a2•a3…ak为整数,
∴k+2必须是2的n次幂(n∈N*),即k=2n-2;
又k∈[1,2014],∴1≤2n-2≤2014,∴取2≤n≤10;
∴在区间(1,2014)内所有的劣数和:
M=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=
22−211
1−2-2×9=2026.
故选:A.
点评:
本题考点: 数列的应用.
考点点评: 本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识,是易错题目.