解题思路:(Ⅰ)设AC∩BD=O,取BE中点G,连接FG,OG,由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形,由此能够证明AC∥平面BEF.
(Ⅱ)以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DE为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面BDF的法向量、平面ADF的法向量,利用向量的夹角公式,即可求二面角A-FD-B的正切值;
(Ⅲ)利用向量法能求出点D到平面BEF的距离.
(Ⅰ)证明:设AC∩BD=O,取BE中点G,连接FG,OG,
∴OG∥DE,且OG=[1/2]DE.
∵AF∥DE,DE=2AF,
∴AF∥OG,且OG=AF,
∴四边形AFGO是平行四边形,FG∥OA.
∴FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,
∴AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.
(2)∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,∠ADE=90°,
∴以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DE为z轴,建立空间直角坐标系,
∵DE=DA=2AF=2,
∴B(2,2,0),E(0,0,2),F(2,0,1),D(0,0,0),
∴
BF=(0,-2,1),
BD=(-2,-2,0),
设平面BDF的法向量
m=(a,b,c),则
−2b+c=0
−2a−2b=0,
∴
m=(-1,1,2),
∵平面ADF的法向量(0,1,0),
∴二面角A-FD-B的余弦值为
2
6,∴正切值为
点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算.
考点点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,考查平面与平面所成角的正切值的求法,解题时要注意向量法的合理运用.