Question

（2011•天津）已知抛物线C1：y1=12x2-x+1，点F（1，1）．

Answer 1

解题思路：（I）将抛物线C₁：y₁=[1/2]x²-x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C₁的顶点坐标；

（II）①由A（0，1），F（1，1），可得AB∥x轴，即可求得AF与BF的长，则问题得解；

②过点P（x_p，y_p）作PM⊥AB于点M，即可求得PF=y_p，同理QF=y_Q，然后由△PMF∽△QNF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；

（III）令y₃=x，设其图象与抛物线C₂交点的横坐标为x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，观察图象，随着抛物线C₂向右不断平移，x₀，x₀′的值不断增大，当满足2＜x≤m，y₂≤x恒成立时，m的最大值在x₀′处取得．可得：当x₀=2时，所对应的x₀′即为m的最大值．

（I）∵y₁=

1

2]x²-x+1=[1/2]（x-1）²+[1/2]，

∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，[1/2]）；

（II）①证明：根据题意得：点A（0，1），

∵F（1，1），

∴AB∥x轴，得AF=BF=1，

∴[1/AF]+[1/BF]=2；

②[1/PF]+[1/QF]=2成立．

理由：

如图，过点P（x_p，y_p）作PM⊥AB于点M，

则FM=1-x_p，PM=1-y_p，（0＜x_p＜1），

∴Rt△PMF中，由勾股定理，

得PF²=FM²+PM²=（1-x_p）²+（1-y_p）²，

又点P（x_p，y_p）在抛物线C₁上，

得y_p=[1/2]（x_p-1）²+[1/2]，即（x_p-1）²=2y_p-1，

∴PF²=2y_p-1+（1-y_p）²=y_p²，

即PF=y_p，

过点Q（x_Q，y_Q）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，

同理可得：QF=y_Q，

∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，

∴△PMF∽△QNF，

∴[PF/QF=

PM

QN]，

这里PM=1-y_p=1-PF，QN=y_Q-1=QF-1，

∴[PF/QF=

1-PF

QF-1]，

即[1/PF+

1

QF]=2；

（III）令y₃=x，

设其图象与抛物线C₂交点的横坐标为x₀，x₀′，且x₀＜x₀′，

∵抛物线C₂可以看作是抛物线y=[1/2]x²左右平移得到的，

观察图象，随着抛物线C₂向右不断平移，x₀，x₀′的值不断增大，

∴当满足2＜x≤m，y₂≤x恒成立时，m的最大值在x₀′处取得．

可得：当x₀=2时，所对应的x₀′即为m的最大值．

于是，将x₀=2代入[1/2]（x-h）²=x，

有[1/2]（2-h）²=2，

解得：h=4或h=0（舍去），

∴y₂=[1/2]（x-4）²．

此时，由y₂=y₃，得[1/2]（x-4）²=x，

解得：x₀=2，x₀′=8，

∴m的最大值为8．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．