函数f(x)=(ax+b)/(1+x方)是定义在(-1,1)上的奇函数,
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  • 1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)

    因为:f(x)是奇函数,

    所以:f(0)=b=0,即:f(x)=ax/(1+x^2).

    又因为f(1/2)=2/5

    所以:a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5

    即:a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5

    所以:a=1

    所以,所求解析式为:f(x)=x/(1+x^2).

    2、设x1<x2,且x1,x2∈(-1,1)

    f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)

    =[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]

    显然,上式中分母>0,我们只需考查分子.

    分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)

    =(x2-x1)-x1x2(x2-x1)

    =(x2-x1)(1-x1x2)

    因为x1,x2∈(-1,1),所以x1x2<1,即:1-x1x2>0

    又因为x1<x2,所以x2-x1>0

    所以:当x2>x1时,f(x2)>f(x1)

    即:在(-1,1)定义域内,f(x)是增函数.

    补充答案:

    呵呵,楼主提出了第三问.那我就试试.

    3、解不等式f(t-1)+f(t)<0

    解法一:因为:f(x)=x/(1+x^2).

    所以不等式变为:

    (t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)<0

    [(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]<0

    因为分母>0,

    所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)<0

    即:2t^3-3t^2+3t-1<0

    t^3+(t-1)^3<0

    t^3-(1-t)^3<0

    因为t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1).

    所以上述不等式变为

    t^3<(1-t)^3

    t<1-t

    2t<1

    t<1/2

    前面我们有t∈(0,1),

    所以,不等式的解为:

    0<t<1/2

    解法二:因为f(x)是奇函数,即:f(-x)=-f(x)

    所以不等式变为f(t-1)<f(-t)

    又因为:f(x)=x/(1+x^2)

    所以:(t-1)/(1+(t-1)^2)<-t/(1+t^2)

    (t-1)(t^2+1)<-t((t-1)^2+1)

    t^3-t^2+t-1<-t^3+2t^2-2t

    t^3<-(t^3-3t^2-3t-1)

    t^3<-(t-1)^3

    t<-(t-1)

    所以:t<1/2.

    又因为:对于f(x),有x∈(-1,1).

    所以:t-1,t∈(-1,1),即:t∈(0,1).

    所以,不等式的解为:0<t<1/2.

    楼主的问题是一个0悬赏分的问题,可是做起来一点都不简单呐!光打字就打得手腕子发酸了!

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