先观察题目：
f(x)=lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
这是一个关于x的函数,对于后面的极限,x被看作常数
而利用等比数列求和公式：
x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-[1/(1+x^2)]^n] / [1-[1/(1+x^2)]]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-1/(1+x^2)^n] / x^2/(1+x^2)
=1 - 1/(1+x^2)^n
因此,
f(x)
=lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=lim(n→∞) 1 - 1/(1+x^2)^n
={1,x≠0
{0,x=0
那么,明显当x≠0时,f(x)恒为1,明显是连续的
当x=0时,f(x)=0≠1=lim(x→0) f(x),根据定义,明显不连续
故原命题成立~
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