解题思路:(1)根据奇函数的性质,f(-x)=-f(x),及
f(
1/2
)=
2
5].及构造关于a,b的方程,解方程可求出实数a,b的值,进而得到函数f(x)的解析式;
(2)根据(1)中函数的解析式,任取区间(-1,1)上两个任意的实数,然后分析它们所对应的函数值的大小,进而根据函数单调性的定义,即可得到结论.
(1)若函数f(x)=
ax+b
x2+1是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
则f(-x)=[−ax+b
x2+1=-f(x)=-
ax+b
x2+1
解得b=0
又∵f(
1/2)=
2
5].
∴
1
2a
1
22+1=[2/5]
解得a=1
故f(x)=
x
x2+1
(2)任取区间(-1,1)上两个任意的实数m,n,且m<n
则f(m)-f(n)=[m
m2+1−
n
n2+1=
(m−n)(1−mn)
(m2+1)(n2+1)
∵m2+1>0,n2+1>0,m-n<0,1-mn>0
∴f(m)-f(n)<0
即f(m)<f(n)
∴f(x)在(-1,1)上是增函数
点评:
本题考点: 奇函数;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查的知识点是奇函数,函数单调性的证明,其中(1)的关键是根据奇函数的性质求出a值,(2)的关键是化简后对函数值差的符号的判断.
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