Question

如图，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，点E为BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB=DE．

Answer 1

（1）证明：

∵DE⊥AB，

∴∠4=90°=∠ACB=∠EBD，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△ACB和△EBD中，

∵

∠1=∠3

∠ACB=∠EBD

AB=DE ，

∴△ACB≌△EBD（AAS），

∴BC=BD，

∵∠EBD=90°，

∴△CBD是等腰直角三角形；

（2）∵BC=BD=8cm，△ACB≌△EBD，

∴AC=BE，

∵E为BC中点，

∴BE=

1

2 BC=4cm，

∴AC=BE=4cm；

（3）在Rt△EBD中，BD=8cm，BE=4cm，由勾股定理得：DE=4

5 cm，

在△EBD中，S _△EBD=

1

2 ×BE×BD=

1

2 ×DE×BF，

∴BE×BD=DE×BF，

∴4cm×8cm=4

5 cm×BF，

∴BF=

8

5

5 cm．