Question

设点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

Answer 1

解题思路：先设点P的坐标为（x，y），然后由点P到x、y轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过x²求得m的取值范围．

设点P的坐标为（x，y），依题设得

|y|

|x|＝2，即y=±2x，x≠0

因此，点P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|-|PN||＜|MN|=2

∵||PM|-|PN||=2|m|＞0

∴0＜|m|＜1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故

x2

m2−

y2

1−m2＝1．

将y=±2x代入

x2

m2−

y2

1−m2＝1，并解得x2＝

m2(1−m2)

1−5m2≥0，

因为1-m²＞0，所以1-5m²＞0，

解得0＜|m|＜

5

5，

即m的取值范围为(−

5

5，0)∪(0，

5

5)．

点评：

本题考点： 双曲线的定义；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查双曲线定义及代数运算能力．