解题思路：设这个两位数是x，则它与12的和是12+x，它与12的积是12x，再设它与12的和去除它与12的积的商是N，解此不定方程即可．
设这个两位数是x，则它与12 的和是：12+x，它与12的积是：12x，
12x÷（x+12）=N，
12x=（x+12）N，
12x=xN+12N，
x=[12N/12−N]，
因为，x是两位数，
所以N＜12，
当N=11时，是三位数，
当N=10时，x=60，
当N=9时，x=36，
当N=8时，x=24，
当N=6时，x=12，
答：当这个两位数是12，24，36，或60时，用它与12的和去除它与12的积，正好能够除完，没有余数．
点评：
本题考点： 整除性质；不定方程的分析求解．
考点点评： 解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，再根据数量关系等式，列出不定方程，最后根据未知数的取值受限，解不定方程即可．