Question

如图所示：图1是定义在R上的二次函数f（x）的部分图象，图2是函数g（x）=log a （x+b）的部分图象．

Answer 1

（1）由题图1得，二次函数f（x）的顶点坐标为（1，2），

故可设函数f（x）=a（x-1） ²+2，又函数f（x）的图象过点（0，0），故a=-2，

整理得f（x）=-2x ²+4x．

由题图2得，函数g（x）=log _a（x+b）的图象过点（0，0）和（1，1），

故有

log a b=0

log a (1+b)=1 ∴

a=2

b=1

∴g（x）=log ₂（x+1）（x＞-1）．

（2）由（1）得y=g（f（x））=log ₂（-2x ²+4x+1）是由y=log ₂t和t=-2x ²+4x+1复合而成的函数，

而y=log ₂t在定义域上单调递增，

要使函数y=g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，

必须t=-2x ²+4x+1在区间[1，m）上单调递减，且有t＞0恒成立．

由t=0得x=

2±

6

2 ，又t的图象的对称轴为x=1．

所以满足条件的m的取值范围为1＜m≤

2+

6

2 ．