Question

四面体ABCD,面ABC与面BCD成60度,顶点A在面BCD上射影H是三角形BCD垂心,G是三角形ABC重心,AH=4,

Answer 1

连结AG,并延长交BC于M,连结DM,

则AM是△ABC的中线,

∵AB=AC,

∴AM⊥BC,（等腰△三线合一）,

连结HM,则HM是AM在平面BCD上的射影.

∴根据三垂线逆定理,BC⊥HM,

∵H是△BCD的垂心,

∴GM在BC边上的高线DH上,即DM是BC边上的高,

∴DM是BC的垂直平分线,DB=DC,

∴〈AMD是二面角A-BC-D的平面角,

〈AMD=60°,

AH/AM=sin60°,

AM=8√3/3,

MH=AM/2=4√3/3,

在△AMH上作GN//AH,交MH于N,

根据三角形平行比例线段性质,

GN/AH=MG/MA,

根据三角形重心的性质,MG/AM=1/3,

∴GN/AH=1/3,

GN=4/3,

同理,MN/MH=1/3,

MN=（4√3/3）/3=4√3/9,

NH=MH-MN=4√3/3-4√3/9=8√3/9,

在RT△HNH中根据勾股定理,

GH^2=GN^2+NH^2,

∴GH=10√3/9.