问题出在你想当然的 “从-π/4到π/4的积分,明明是整个函数!”上,这里存在一个极坐标方程中极角的取值范围问题,事实上,双扭线r²=a²cos2θ也可以表示为r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4],即原方程中隐含了r=-a√(cos2θ) θ∈[3π/4,5π/4]或r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]的部分.如果笼统的按照你的定积分进行积分,则忽略了双扭线r²=a²cos2θ中r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4,5π/4]的部分.解题中特别是极坐标方程的积分问题中要特别注意这个问题,一个万能的解决办法是如果是对称图形则只考虑第一或某一象限的图形然后乘倍即可.
希望可以帮到你,不懂可以追问!