要证aii*ajj>aij^2.
记ei是第i个元素为1,其余元素为0的n维列向量,则由A正定知道,对任意的x＝x1ei+x2ej,有x^TAx>0.
而x^TAx=(x1ei+x2ej)^TA(x1ei+x2ej)=x1^2(ei^TAei)+2x1x2(ei^TAej)+x2^2(ej^TAej)
=aii*x1^2+2aij x1x2+ajj*x2^2>0,对所有的非零元素x1,x2成立.
即二次型f(x1,x2)=aii*x1^2+2aij x1x2+ajj*x2^2是正定二次型,因此其对应的矩阵
【aii aij
aji ajj】是正定的,于是有aii*ajj>aij^2.