已知A、B、C是抛物线y2=2px上的三点,且BC与x轴垂直,直线AB,AC分别与抛物线的轴交于D、E两点,求证:抛物线

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  • 解题思路:先设出抛物线的参数方程及B,C,A的坐标,则直线AC,AB的直线方程可表示出来,进而求得AC,AB与x轴的交点D,E的坐标,进而可证明结论.

    抛物线参数方程为y=t,x=′

    t2

    2p,

    设B(

    t21

    2p,t1),C(

    t21

    2p,-t1),A(

    t22

    2p,t2

    所以求得AC的直线方程为

    y-t2=

    (t2−t1)(x−

    t22

    2p)

    t22

    2p−

    t21

    2p

    化简y-t2=

    2p(x−

    t22

    2p)

    t1+t2

    同理求得直线AB方程为

    y-t2=

    2p(x−

    t22

    2p)

    t2−t1,

    ∴可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点

    D(-

    t1•t2

    2p,0)、E(

    t1t2

    2p,0)

    所以,抛物线的顶点平分线段DE

    点评:

    本题考点: 抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查了抛物线的方程,参数方程,直线方程的相关问题.考查了学生基础知识综合运用.