已知数列{an}的前n项之和为Sn,a1=1,Sn=4a(n-1)+1 (n>=2,n∈N*),bn=a(n+1)-2a

2个回答

  • 1)求bn的通项公式

    由已知S(n)=4a(n-1)+1,得:S(n+1)=4an+1,两者相减,得

    S(n+1)-S(n)=a(n+1)=4[an-a(n-1)]

    由bn=a(n+1)-2an知,b(n-1)=an-2a(n-1)

    因bn=a(n+1)-2an=4[an-a(n-1)]-2an=2an-4a(n-1)=2*b(n-1)

    可见bn是公比为2的等比数列,由a1=1,s2=4a1+2,知a2=5,

    从而b1=a2-2a1=5-2×1=3

    因此bn=3*2^(n-1)

    2)设cn=an/2^n,求证cn是等差数列

    由cn=an/2^n,知an=2^n*cn,

    且a(n+1)=2^(n+1)*c(n+1),a(n-1)=2^(n-1)*c(n-1),

    由bn=2an-4a(n-1)=2*2^n*cn-4*2^(n-1)*c(n-1)=2^(n+1)*[cn-c(n-1)]=3*2^(n-1)

    得cn-c(n-1)=3*2^(n-1)/2^(n+1)=3/4

    同样有,

    b(n+1)=2a(n+1)-4an=2*2^(n+1)*c(n+1)-4*2^n*cn=2^(n+2)*[c(n+1)-cn]=3*2^n

    得c(n+1)-cn=3*2^n/2^(n+2)=3/4

    由c(n+1)-cn=cn-c(n-1)=3/4知cn为一等差数列.

    C1=1/2a1=1/2

    Cn=1/2+(n-1)*3/4