已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,

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  • 解题思路:(1)求导数,利用导数的正负,即可求函数f(x)的单调区间;

    (2)由已知,求得f(x)=x2+x-xlnx.将不等式f(x)≥bx2+2x恒成立转化为

    b≤1−

    1

    x

    lnx

    x

    恒成立.构造函数

    g(x)=1−

    1

    x

    lnx

    x

    ,只需b≤g(x)min即可,因此又需求g(x)min.

    (1)当a=0时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞).

    f'(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1.-------------(3分)

    x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数.x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数;-------------(6分)

    (2)由f(1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xlnx,

    由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥lnx,

    又∵x>0,∴b≤1−

    1

    x−

    lnx

    x恒成立,-------------(9分)

    令g(x)=1−

    1

    x−

    lnx

    x,可得g′(x)=

    lnx

    x2,∴g(x)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.

    ∴g(x)min=g(1)=0

    即b≤0,即b的取值范围是(-∞,0].----------(12分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的应用,考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握函数恒成立时所取的条件,是一道综合题.