Question

（2014•安徽模拟）若关于x的不等式a（x2+x+4）≥|x|对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是[[1/3，+∞

Answer 1

解题思路：易判断x²+x+4＞0，从而原不等式可化为a≥

|x|

x

2

+x+4

⇒a≥

(

|x|

x

2

+x+4

)

max

，分x=0、x＞0、x＜0三种情况进行讨论，可分别求得a的范围，最后对a取交集．

∵x²+x+4=(x+

1

2)2+

15

4]＞0，

∴由a（x²+x+4）≥|x|，得

a≥

|x|

x2+x+4⇒a≥(

|x|

x2+x+4)max，

当x=0时，

|x|

x2+x+4=0，此时只需a≥0；

当x＞0时，

|x|

x2+x+4=[1

x+

4/x+1]≤

1

2

x•

4

x+1=[1/5]，当且仅当x=2时取等号，

此时a≥

1

5；

当x＜0时，

|x|

x2+x+4=[1

−x−

4/x−1]≤

1

2

(−x)•

4

−x−1=[1/3]，当且仅当x=-2时取等号，

此时a≥

1

3；

综上，a≥

1

3．

故答案为：[[1/3]，+∞）．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求函数的最值，考查转化思想、分类讨论思想，注意不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．