已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 - 知识问答

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F 1 ，F 2 ，若△AF 1 F

1个回答

（1）∵椭圆C：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
△AF₁F₂为正三角形且周长为6，
∴
a=2c
6c=6 ，解得c=1，a=2，b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1 ．
（2）设直线AB的方程为y=-x+p，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由
3 x 2 +4 y 2 =12
y=-x+p ，得7x²-8px+4p²-12=0
∵△=64p²-28（4p²-12）＞0，
∴-
7 ＜n＜
7
∵x₁+x₂=
8p
7 ，x₁x₂=
4 p 2 -12
7 ，
设A．B的中点C（x₀，y₀），
则 x 0 =
4p
7 ， y 0 =
5
7 p ，
点C在l：y=-x+p上
∴p=3m，即-
7 ＜3m＜
7 ，得-
7
3 ＜m＜
7
3 ．
∴实数m的取值范围是（-
7
3 ，
7
3 ）．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立
y=kx+m
x 2
4 +
y 2
3 =1 ，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x₁+x₂=-
8mk
3+4 k 2 ，x₁x₂=
4( m 2 -3)
3+4 k 2 ，
∴y₁y₂=
3( m 2 -4 k 2 )
3+4 k 2 ，
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-
2
7 k，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾
当 m 1 =-
2
7 时，l的方程为y=k（x-
2
7 ），则直线过定点（
2
7 ，0）
∴直线l过定点，定点坐标为（
2
7 ，0）．

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