Question

已知等差数列{an}的公差大于0，且a2，a4是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且bn

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出a1=3，d=2，从而an=3+（n-1）×2=2n+1．由Sn=1-bn，得b1＝12，bn＝12bn−1由此能求出bn=(12)n．（2）由cn=an+bn=2n+1+（12）n，利用分组求和法能求出Tn．

（1）∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₄是方程x²-14x+45=0的两根，

∴a₂＜a₄，解方程x²-14x+45=0，得：a₂=5，a₄=9，

∴

a1+d＝5

a1+3d＝9，解得a₁=3，d=2，

∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．

∵数列{b_n}的前n项的和为S_n，且b_n+S_n=1，

∴S_n=1-b_n，

n=1时，b₁=1-b₁，解得b1＝

1

2，

n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=b_n-1-b_n，即bn＝

1

2bn−1，

∴{b_n}是以[1/2]为公项，以[1/2]为公比的等比数列，

∴b_n=(

1

2)n．

（2）∵c_n=a_n+b_n=2n+1+（[1/2]）ⁿ，

∴T_n=2（1+2+3+…+n）+n+（[1/2+

1

22+…+

1

2n]）

=2×

n(n+1)

2+n+

1

2(1−

1

2n)

1−

1

2

=n2+2n+1−

1

2n．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．