Question

设随机变量X概率分布为P(X＝k)＝Ck!（K=0，1，2，…）则E（X2）=______．

Answer 1

解题思路：首先根据分布列的性质“概率和为1”和

∞

k＝0

1

k!

＝e

求出常数C，然后用期望的定义得到E（X²）的表达式，最后用幂级数求和方法算出得数．

由分布列的性质可得：1＝

∞

k＝0

C

k!＝Ce，

∴C=e^-1，

从而：E(X2)＝

∞

k＝1k2

C

k!＝e−1

∞

k＝1

k

(k−1)!，

构造幂级数

∞

k＝1

k

(k−1)!xk−1，

令：S(x)＝

∞

k＝1

k

(k−1)!xk−1，

则：

∫x0S(x)dx＝

∞

k＝1

1

(k−1)!xk＝xex，

从而：S（x）=（x+1）e^x，

因此：

∞

k＝1

k

(k−1)!＝S(1)＝2e，

∴E(X2)＝

∞

k＝1k2

C

k!＝e−1

∞

k＝1

k

(k−1)!＝2．

点评：

本题考点： 离散型随机变量的分布律；幂级数和函数的性质；概率的基本性质．

考点点评： 考查随机变量的数字特征和分布列的性质，知识点较为简单，但期间用到了函数的幂级数展开式ex＝∞k＝0xkk!，以及用逐项积分的方法求幂级数的和．