解题思路：（1）由函数
f(x)＝
1
3
x
3
−x
，知f′（x）=x2-1，令f′（x）=0，得x=±1，由此得到f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值为f（3）=6，故要使得不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，等价于6＜k-2005恒成立，由此能求出最小的正整数k．
（2）由g（x）=f（x）-
1
2
a
x
2
+x=
x
3
3]-
a
x
2
2
，知g′（x）=x2-ax，g（1）=[1/3
−
a
2]，故切线方程为y-（[1/3]-[a/2]）=（1-a）（x-1），与坐标轴的交点为（0，[2/3]-[a/2]），（
2
3
−
a
2
1−a
，0），由此能求出三角形面积的最小值．
（1）∵函数f(x)＝
1
3x3−x，
∴f′（x）=x2-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
当x∈[-2，-1]时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（-2）=[1/3]×（-2）3-（-2）=-[2/3]，f（-1）=-[1/3]+1=[2/3]．
当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（1）=[1/3]-1=-[2/3]，
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（3）=[27/3]-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值为f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，
则6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整数k为2012．
（2）∵g（x）=f（x）-[1/2ax2+x=
x3
3]-
ax2
2，
∴g′（x）=x2-ax，g（1）=[1/3−
a
2]，
y=g（x）在（1，g（1））处的切线的斜率为g′（1）=1-a，
故切线方程为y-（[1/3]-[a/2]）=（1-a）（x-1），
化简得y-（1-a）x+[2/3]-a=0，与坐标轴的交点为（0，[2/3]-[a/2]），（
2
3−
a
2
1−a，0），
又∵a≥2，∴[2/3]-[a/2]＜0，
2
3−
a
2
1−a＞0，
所以面积S=[1/2×(
a
2−
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查满足条件的最小实数值的求法，考查三角形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．
1年前
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