解题思路：根据已知条件可得A是5，6，7的倍数．可求5，6，7的最小公倍数是5×6×7=210；再由四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，可求A=210，依此可求B，C，D，从而求解．
A除以B商是5余5，
所以A=5B+5，
所以A是5的倍数；
同理，A除以C商是6余6，A除以D商是7除7，
则A是6和7的倍数．
5，6，7的最小公倍数是5×6×7=210，
和不超过400，则A＜400
而210的2倍大于400，
所以A=210，
B=（210-5）÷5=41，
C=（210-6）÷6=34，
D=（210-7）÷7=29．
所以A+B+C+D=314．
答：这四个自然数相加的和是314．
点评：
本题考点： 公约数与公倍数问题．
考点点评： 考查了公倍数问题，本题通过已知条件得到A是5，6，7的倍数是解题的关键，题目难度较大．